Halaman
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK582.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga VariabelPerbedaan antara sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terletak pada banyak persamaan dan variabel yang digunakan. Oleh karena itu, penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Umumnya penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diselesaikan dengan metode eliminasi dan substitusi. Berikut akan disajikan contoh menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode campuran eliminasi dan substitusi.Contoh 2.3Jumlah tiga bilangan sama dengan 45. Bilangan pertama ditambah 4 sama dengan bilangan kedua, dan bilangan ketiga dikurangi 17 sama dengan bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut.Alternatif PenyelesaianMisalkan x = bilangan pertamay = bilangan keduaz = bilangan ketigaBerdasarkan informasi pada soal diperoleh persamaan sebagai berikut.x + y + z= 45 (2.16)x + 4 = y(2.17)z – 17 = x(2.18)Ditanyakan:Bilangan x, y, dan z.Kamu dapat melakukan proses eliminasi pada persamaan (2.16) dan (2.17), sehingga diperoleh
Matematika59x + y + z = 45 x – y= –4 2x + z= 41 Diperoleh persamaan baru, 2x + z = 41 (2.19)Lakukan proses eliminasi pada persamaan (2.18) dan (2.19), sehingga diperolehx – z= –17 2x + z= 41 3x= 24Diperoleh 3x = 24 atau x = 243 atau x = 8. Lakukan proses substitusi nilai x = 8 ke persamaan (2.17) diperoleh(8) + 4 = y⇒y = 12 Substitusikan x = 8 ke persamaan (2.18) diperolehz – 17 = (8) ⇒z = 25Dengan demikian, bilangan x = 8, bilangan y = 12, dan bilangan z = 25.Selain metode eliminasi, substitusi, dan campuran antara eliminasi dan substitusi (kamu dapat mencoba sendiri), terdapat cara lain untuk menyelesaikan suatu SPLTV, yaitu dengan cara determinan dan menggunakan invers matriks. Namun, pada bab ini metode ini tidak dikaji.Sekarang kita akan menemukan penyelesaian SPLTV dengan metode lain. Kita menententukan himpunan penyelesaian SPLTV secara umum berdasarkan konsep dan bentuk umum SPLTV yang telah ditemukan dengan mengikuti langkah penyelesaian metode eliminasi di atas untuk menemukan cara baru.Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah sebagai berikut.Perhatikan persamaan linear berikut.a1x + b1y + c1z = d1(2.12)a2x + b2y + c2z = d2(2.13)a3x + b3y + c3z = d3(2.14)
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK60Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalaha1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c3z = d2a3x + b3y + c3z = d3(2.15)dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, x, y, dan z∈R, dan a1, b1, dan c1tidak ketiganya 0 dan a2, b2, dan c2 tidak ketiganya 0 dan a3, b3, dan c3 tidak ketiganya 0.Langkah 1Eliminasi variabel x dari Persamaan (2.12) dan Persamaan (2.13) menjadia1x + b1y + c1z = d1×a2a1a2x + a2b1y + a2c1z = a2d1a2x + b2y + c2z = d2×a1a1a2x + a1b2y + a1c2z = a1d2 (a2b1 – a1b2)y + (a2c1 – a1c2)z = a2d1 – a1d2(a2b1 – a1b2)y + (a2c1 – a1c2)z = a2d1 – a1d2(2.20)Langkah 2Eliminasi variabel x dari Persamaan (2.12) dan Persamaan (2.14) menjadia1x + b1y + c1z = d1×a3a1a3x + a3b1y + a3c1z = a3d1a3x + b3y + c3z = d3×a1a1a3x + a1b3y + a1c3z = a1d3(a3b1 – a1b3)y + (a3c1 – a1c3)z = a3d1 – a1d3(a3b1 – a1b3)y + (a3c1 – a1c3)z = a3d1 – a1d3 (2.21)Langkah 3Eliminasi variabel y dari Persamaan (2.20) dan Persamaan (2.21)(a2b1 – a1b2)y + (a2c1 – a1c2)z = a2d1 – a1d2× (a3b1 – a1b3) (a3b1 – a1b3)y + (a3c1 – a1c3)z = a3d1 – a1d3× (a2b1 – a1b2) Dari hasil perkalian koefisien variabel y pada (2.20) terhadap (2.21) dan hasil perkalian koefisien variabel z pada (2.21) terhadap (2.20), maka diperoleh
Matematika61z = ((a2d1 – a1d2)(a3b1 – a1b3) – (a3d1 – a1d3)(a2b1 – a1b2))((a2c1 – a1c2)(a3b1 – a1b3) – (a3c1 – a1c3)(a2b1 – a1b2))z = ((a1a1b3d2 – a1a2b3d1 – a1a3b1d2) – (a1a1b2d3 – a1a3b2d1 – a1a2b1d3))((a1a1b3c1 – a1a2b3c1 – a1a1b1c2) – (a1a1b2c3 – a1a3b2c1 – a1a2b1c3))z = ((a1b3d2 – a2b3d1 – a3b1d2) – (a1b2d1 – a2b1d3))((a1b3c1 – a2b3c1 – a2b1c2) – (a1b2c3 – a3b2c1 – a2b1c3))z = ((a1b2d1 + a1b3d2 + a2b1d3) – (a1b2d3 + a3b1d2 + a2b3d1))((a3b2c1 + a1b3c2 + a2b1c3) – (a1b2c3 + a3b2c2 + a2b3c1•Lakukan kegiatan matematisasi (mengkoordinasi pengetahuan dan keterampilan yang telah dimiliki siswa sebelumnya untuk menemukan aturan-aturan, hubungan-hubungan, dan struktur-struktur yang belum diketahui).Nilai variabel z di atas dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian koefisien-koefisien variabel x, y, dan konstanta pada sistem persamaan linear yang diketahui.z = 11 11122 2 2233 33311 1112222233333a b d a ba b d a ba b d a ba b c a ba b c a ba b c a bPetunjukJumlahkan hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis penuh dan hasilnya dikurangi dengan jumlahkan hasil per-kalian bilangan-bilangan pada garis putus-putus.Lakukan pada pembilang dan penyebut.
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK62Dengan menggunakan cara menentukan nilai z, ditentukan nilai x dan ydengan cara berikut.x = 11 111222223333311 1112222233333d b c d bd b c d bd b c d ba b c a ba b c a ba b c a by = 11 111222223333311 1112222233333d b c d bd b c d bd b c d ba b c a ba b c a ba b c a bPerhatikan ciri penyelesaian untuk x, y, dan z di atas. Coba temukan pola penentuan nilai x, y, dan z, sehingga akan memudahkan menentukan penyelesaian SPLTV. DiskusiPada langkah penyelesaian Masalah 2.1 halaman 35diperoleh sebuah sistem persamaan linear tiga variabel sebagai berikut.x + y + z = 40 x = 2y75x + 120y + 150z = 4.020 Dengan menerapkan cara yang ditemukan pada SPLTV di atas, tentunya kamu dengan mudah memahami bahwa a1 = 1 a2 = 1 a3 = 75b1 = 1 b2 = –2 b3 = 120c1 = 1 c2 = 0 c3 = 150d1 = 40 d2 = 0 d3 = 4.020
Matematika63Oleh karena itu, nilai x, y, dan z ditentukan sebagai berikut.x = −−−−4 0 1 1 4 0 10 2 0 0 24.020 120 150 4.020 1201 1 1 1 11 2 0 1 275 120 150 75 120= (–8.040 + 0 + 0) – (–12.000 + 0 + 0)(–150 + 0 + 150) – (–300 + 0 + 120) = –8.040 + 12.000300 – 120 = 3.960180 = 22y= −−1 4 0 1 1 4 01 0 0 1 075 4.020 150 75 4.0201 1 1 1 11 2 0 1 275 120 150 75 120 = (0 + 0 + 6.000) – (0 + 0 + 4.020)180 = 6.000 – 4.020180 = 1.980180 = 11z = −−−−1 1 4 0 1 11 2 0 1 275 120 4.020 75 1201 1 1 1 11 2 0 1 275 120 150 75 120 = (–6.000 + 0 + 4.020) – (–8.040 + 4.800)180 = –1.980 + 3.240180 = 1.260180 = 7
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK64Berdasarkan hasil perhitungan di atas diperoleh himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah (22, 11, 7). Ternyata, hasilnya sama dengan himpunan penyelesaian yang diperoleh dengan metode campuran eliminasi dan substitusi sebelumnya.Selanjutnya, dari semua penjelasan di atas dapat dituliskan definisi himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini.Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel adalah suatu himpunan semua triple terurut (x, y, z) yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut.Definisi 2.2